\chapter{Mathematische Formeln} \latex kann schon sehr gut mathematische Formeln setzen. Dennoch muss man für einige Strukturen und Symbolen zusätzlichen Pakete laden. Eines der bekanntesten Pakete ist das Paket \texttt{amsmath}. AMS steht für \textit{American Mathematical Society}. Sein Nachfolger ist das Paket \texttt{mathtools}. Man kann beide benutzen. Das Paket \texttt{mathtools} lädt intern auch das Paket \verb:amsmath:. Es gibt zwei \emph{Modus} um mathematische Formel zu setzen: \begin{description}%{inline} \item[inline-Modus] ist für die Formel in Fließtext geeignet. Man setzt die Formel zwischen zwei \verb:$:-Zeichen. Z.B.\,$\sqrt{9} = 3$ wird durch \verb:$\sqrt{9} = 3$: gesetzt. \item[display-Modus] ist für Formeln, die in einem eigenen Absatz gesetzt werden und ggf.\,noch referenziert werden. Man setzt die Formel bei dem display-Modus in die Umgebung \verb:align: ggf.\,\verb:align*: oder \verb:\[\]:. Die Umgebungen \verb:displaymath:, \verb:eqnarray:, \verb:eqnarray*: sollte man nicht benutzen. Sie führen dazu, dass die Abstände inkonsistent sind. \end{description} \section{Display-Modus} Die Umgebung \verb:align: setzt die mathematische Formel in einem neuen Absatz und vergibt automatisch die Nummerierung der Formel. Die Umgebung \verb:align*: dagegen vergibt keine Nummerierung. Wenn man das Paket \verb:mathtools: benutzt, dann die \verb:\[\]: ist die Abkürzung für \verb:align*:, Beispiele: Um die Formel zu nummerieren benutzt man die Umgebung \verb:align:. Der Code \begin{latexcode} \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2\\ \sin(x)^2 + \cos(x)^2 &= 1 \end{align} \end{latexcode} erzeugt: \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2\\ \sin(x)^2 + \cos(x)^2 &= 1\\ a_1 + a_2+ \cdots + a_n &= \sum_{i=1}^n a_i \end{align*} Wenn man die Gleichung referenzieren möchte, markiert man die Gleichung mit dem Befehl \verb:\label: und kann sie dann später im Text mittels \verb:\ref: referenzieren. Der Code %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{latexcode} \begin{align} \varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2} \label{eq:normalverteilung} \end{align} Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird in der Gleich~\ref{eq:normalverteilung} dargestellt. \end{latexcode} erzeugt \begin{align} \varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2} \label{eq:normalverteilung} \end{align} Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird in der Gleich~\ref{eq:normalverteilung} dargestellt. Man kann mehrere Gleichungen in der Umgebung \verb:align: setzen. Jede Gleichung bekommt eine Nummer. Mit dem Befehl \verb:\notag: schaltet man die Nummerierung von individuellen Gleichung ab. Beispiel: Die Gleichungen \begin{align} a &= b \label{eq:a-b}\\ b &= c \notag\\ \Rightarrow a &= c \label{eq:a-c} \end{align} werden durch diesen Code erzeugt: \begin{latexcode} \begin{align} a &= b \label{eq:a-b}\\ b &= c \notag\\ \Rightarrow a &= c \label{eq:a-c} \end{align} \end{latexcode} Man kann ebenfalls die~\ref{eq:a-b}. Gleichung und die~\ref{eq:a-c}. Gleichung durch \verb|\ref{eq:a-b}| und \verb|\ref{eq:a-c}| referenzieren. Möchte man die Gleichungen linksbündig setzen, kann man das Paket \verb:mathtools: mit der Option \verb:[fleqn]: aufrufen. Die Abb.~\ref{fig:left-eq} zeigt den Effekt der Option. \begin{figure}[H]\centering \frame{\includegraphics{code/left-eq}} \caption{Linksbündige Gleichung} \label{fig:left-eq} \end{figure} \section{Brüche} Brüche werden durch \verb:\frac{Zähler}{Nenner}: erzeugt. Sie können beliebig verschachtelt werden: Im Inline-Modus wird \verb:\frac{a}{b}: so dargestellt: $\frac{a}{b}$ während er im Display Modus wie in der "`Gleichung"'~\ref{eq:frac} dargestellt wird: \begin{align} \frac{a}{b} \label{eq:frac} \end{align} Oft möchte man Brüche wie diese setzen: $\nicefrac{1}{2}$. Dazu braucht man das Paket \verb:nicefrac: und setzt die Bruch mit dem Befehl \verb:\nicefrac{1}{2}:. \section{Indizes und Exponenten} Indizes werden durch \verb:_: gesetzt: \verb:$a_b$: ergibt $a_b$. Exponenten werden durch \verb:^: gesetzt: \verb:$a^b$: ergibt $a^b$. Die beiden Operator können kombiniert und verschachtelt werden: \begin{itemize} \item \verb:$a_{1}^1 + a_{2}^2$: $\longrightarrow a_{1}^1 + a_{2}^2$ \item \verb:$a_{i^1} + a_{i^2} + a_{i^3}$: $\longrightarrow a_{i^1} + a_{i^2} + a_{i^3}$ \end{itemize} \section{Wurzeln} Wurzeln werden durch \verb:sqrt[]{argument}: gesetzt. Beispiel: $\sqrt[3]{8} = 2$. Bei langen Exponenten sieht es so aus: \verb:$\sqrt[\frac{1}{3}]{8} = 8^{\nicefrac{3}{1}} = 8^3$: $\longrightarrow \sqrt[\frac{1}{3}]{8} = 8^{\nicefrac{3}{1}} = 8^3$ Möchtet man den Abstand zwischen 3 und dem Wurzel-Zeichen vergrößern, kann man die folgendermaßen tun: \verb:$\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}\frac{1}{3}]{8}$: $\longrightarrow \sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}\frac{1}{3}]{8}$ \begin{description} \item [\texttt{leftroot}] ist der horizontale Abstand zwischen der Wurzel und dem Exponent, \emph{von rechts nach links}. \item [\texttt{uproot}] ist der vertikale Abstand zwischen der Wurzel und dem Exponent, \emph{von unten nach oben}. \end{description} Die Argumente für diese Befehle sind ganzen Zahlen, die Einheit sind Point. Alternativ kann man den Befehl \verb:\nicefrac: verwenden: $\sqrt[\nicefrac{1}{3}]{8}$. \section{Operatoren} Operatoren sind bekannten Funktionen, die aufrecht gesetzt werden (müssen). Zum Beispiel: Die Funktion Sinus wird als $\sin(x)$ (\verb:$\sin(x)$:) gesetzt, gängigsten Funktionen sind: \begin{itemize} \item Cosinus \verb:\cos(x): $\cos(x)$, Tangenz \verb:\tan(x): $\tan(x)$, Kotangenz \verb:$\cot(x)$: $\cot(x)$ \item Natürlicher Logarithmus \verb:\ln(x): $\ln(x)$, Logarithmus zur Basis $n$ \verb:$\log_n(x)$: $\log_n(x)$ \item Real-Teil und Imaginär-Teil: \verb:\Re(z): $\Re(z)$ und \verb:$\Im(z)$: $\Im(z)$ \end{itemize} \section{Matrizen} Matrizen werden folgendermaßen erstellt: \begin{latexcode} \begin{align} A &= \left[ \begin{array}{ccr} a & b & c \\ d & f & 2 \\ \sin(x)& \cos(x) & \log_{\nicefrac{1}{3}}(x) \end{array} \right] \end{align} \end{latexcode} erzeugt: \begin{align} A &= \left[ \begin{array}{ccr} a & b & c \\ d & f & 2 \\ \sin(x)& \cos(x) & \log_{\nicefrac{1}{3}}(x) \end{array} \right] \end{align} Die Zeichen \verb:\\: und \verb:&: erzeugen Zeilen und Spalten in der Matrix. Die Befehle \verb:\left[: und \verb:\right]: erzeugen die linke und rechte rechteckige Klammer. Die Größe wird dabei automatische an den Inhalt angepasst. Um runde Klammer zu setzen, kann man also \verb:\left(: und \verb:\right): verwenden. Die Umgebung \verb:array: kann verschachtelt werden. Um Matrixmultiplikation zu setzen kann man beispielsweise so setzen: \begin{latexcode} \begin{align} \text{Matrixmultiplikation } A &= \begin{array}{cl} & \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\\ % \left(\begin{array}{cc} x & y \\ u & v \\ \end{array}\right) & \left(\begin{array}{cc} ax + cy & bx + dy \\ au + cv & bu + dv \\ \end{array}\right) \end{array} \end{align} \end{latexcode} Das Ergebnis wird dann in der unterstehenden Gleichung angezeigt. \begin{align} \text{Matrixmultiplikation } A &= \begin{array}{cl} & \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\\ % \left(\begin{array}{cc} x & y \\ u & v \\ \end{array}\right) & \left(\begin{array}{cc} ax + cy & bx + dy \\ au + cv & bu + dv \\ \end{array}\right) \end{array} \end{align} Die Umgebung \texttt{array} funktioniert so wie die Umgebung \texttt{tabular}. Jedoch sie darf nur im Math-Modus verwendet werden. Alternativ kann man die Umgebung \texttt{matrix} verwenden, dann muss man kein Spalten-Definition angeben. Z.\,B: \begin{latexcode} \begin{align}\left( \begin{matrix} \phantom{-} a & b & c \\ \phantom{-} d & f & 2 \\ -1 & r & 3 \\ \end{matrix} \right) \end{align} \end{latexcode} erzeugt \begin{align}\left( \begin{matrix} \phantom{-} a & b & c \\ \phantom{-} d & f & 2 \\ -1 & r & 3 \\ \end{matrix} \right) \end{align} Man kann auch die Arten der Klammen kombinieren. \section{Integral und Summe} \begin{latexcode} \begin{align*} \int_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &= \\ \int \cos(x) dx & = \sin(x) + C \end{align*} \end{latexcode} erzeugt \begin{align*} \int_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &= \\ \int \cos(x) dx & = \sin(x) + C\\ \end{align*} Während \begin{latexcode} \begin{align*} \sum_{i=0}^{\infty} i^2 & = 1 + 1 + 4 + 8 + \cdots \end{align*} \end{latexcode} erzeugt \begin{align*} \sum_{i=0}^{\infty} i^2 & = 1 + 1 + 4 + 8 + \cdots \end{align*} Die Grenzen in der Summe- und Integral-Formel werden automatisch angepasst. Alternativ kann man den Befehl \verb:\limits: benutzen: \begin{latexcode} \begin{align*} \int\limits_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &= \end{align*} \end{latexcode} erzeugt \begin{align*} \int\limits_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &= \end{align*}