\chapter{Mathematische Formeln}

\latex kann schon sehr gut mathematische Formeln setzen. Dennoch muss man für einige 
Strukturen und Symbolen zusätzlichen Pakete laden.

Eines der bekanntesten Pakete ist das Paket \texttt{amsmath}. AMS steht für 
\textit{American Mathematical Society}. Sein Nachfolger ist das Paket 
\texttt{mathtools}. Man kann beide benutzen. Das Paket \texttt{mathtools} 
lädt intern auch das Paket \verb:amsmath:. Es gibt zwei \emph{Modus} um mathematische
Formel zu setzen: 

\begin{description}%{inline}
  \item[inline-Modus] ist für die Formel in Fließtext geeignet. Man setzt die Formel
	zwischen zwei \verb:$:-Zeichen. Z.B.\,$\sqrt{9} = 3$ wird durch \verb:$\sqrt{9} = 3$: gesetzt.

  \item[display-Modus] ist für Formeln, die in einem eigenen Absatz gesetzt werden und
	 ggf.\,noch referenziert werden. Man setzt die Formel bei dem display-Modus 
	 in die Umgebung \verb:align: ggf.\,\verb:align*: oder \verb:\[<Math. Formel>\]:. 
	 Die Umgebungen \verb:displaymath:, \verb:eqnarray:, \verb:eqnarray*: sollte man
	 nicht benutzen. Sie führen dazu, dass die Abstände inkonsistent sind.
\end{description}

\section{Display-Modus}

Die Umgebung \verb:align: setzt die mathematische Formel in einem neuen Absatz und vergibt 
automatisch die Nummerierung der Formel. Die Umgebung \verb:align*: dagegen vergibt keine
Nummerierung. Wenn man das Paket \verb:mathtools: benutzt, dann die \verb:\[\]: ist
die Abkürzung für \verb:align*:, Beispiele:

Um die Formel zu nummerieren benutzt man die Umgebung \verb:align:. Der Code

\begin{latexcode}
\begin{align}
    a^2 &= b^2 + c^2\\
    \sin(x)^2 + \cos(x)^2 &= 1
\end{align}
\end{latexcode}

erzeugt:

\begin{align*}
	a^2 &= b^2 + c^2\\
	\sin(x)^2 + \cos(x)^2 &= 1\\
	a_1 + a_2+ \cdots + a_n &= \sum_{i=1}^n a_i
\end{align*}

Wenn man die Gleichung referenzieren möchte, markiert man die Gleichung mit dem
Befehl \verb:\label: und kann sie dann später im Text mittels \verb:\ref: referenzieren.
Der Code
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{latexcode}
\begin{align}
\varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  e^{-\frac{1}{2} x^2}
\label{eq:normalverteilung}
\end{align}

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird in der Gleich~\ref{eq:normalverteilung} 
dargestellt.
\end{latexcode}

erzeugt

\begin{align}
\varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  e^{-\frac{1}{2} x^2}
\label{eq:normalverteilung}
\end{align}

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird in der Gleich~\ref{eq:normalverteilung} 
dargestellt.

Man kann mehrere Gleichungen in der Umgebung \verb:align: setzen. Jede Gleichung 
bekommt eine Nummer. Mit dem Befehl \verb:\notag: schaltet man die Nummerierung von
individuellen Gleichung ab. Beispiel: Die Gleichungen 

\begin{align}
            a &= b \label{eq:a-b}\\
            b &= c \notag\\
\Rightarrow	a &= c \label{eq:a-c}
\end{align}

werden durch diesen Code erzeugt:

\begin{latexcode}
\begin{align}
            a &= b \label{eq:a-b}\\
            b &= c \notag\\
\Rightarrow a &= c \label{eq:a-c}
\end{align}
\end{latexcode}

Man kann ebenfalls die~\ref{eq:a-b}. Gleichung und die~\ref{eq:a-c}. Gleichung 
durch \verb|\ref{eq:a-b}| und \verb|\ref{eq:a-c}| referenzieren.

Möchte man die Gleichungen linksbündig setzen, kann man das Paket \verb:mathtools:
mit der Option \verb:[fleqn]: aufrufen. Die Abb.~\ref{fig:left-eq} zeigt den Effekt der Option.

\begin{figure}[H]\centering
\frame{\includegraphics{code/left-eq}}
\caption{Linksbündige Gleichung}
\label{fig:left-eq}
\end{figure}

\section{Brüche}

Brüche werden durch \verb:\frac{Zähler}{Nenner}: erzeugt. Sie können beliebig
verschachtelt werden:

Im Inline-Modus wird \verb:\frac{a}{b}: so dargestellt: $\frac{a}{b}$ während er 
im Display Modus wie in der \glqq{}Gleichung\grqq{}~\ref{eq:frac} dargestellt wird:

\begin{align}
\frac{a}{b} 
\label{eq:frac}
\end{align}


Oft möchte man Brüche wie diese setzen: $\nicefrac{1}{2}$. Dazu braucht man das 
Paket \verb:nicefrac: und setzt die Bruch mit dem Befehl \verb:\nicefrac{1}{2}:.

\section{Indizes und Exponenten}
Indizes werden durch \verb:_: gesetzt: \verb:$a_b$: ergibt $a_b$. Exponenten werden
durch \verb:^: gesetzt: \verb:$a^b$: ergibt $a^b$. Die beiden Operator können kombiniert
und verschachtelt werden:

\begin{itemize}
	\item \verb:$a_{1}^1 + a_{2}^2$: $\longrightarrow a_{1}^1 + a_{2}^2$
	\item \verb:$a_{i^1} + a_{i^2} + a_{i^3}$: $\longrightarrow a_{i^1} + a_{i^2} + a_{i^3}$
\end{itemize}

\section{Wurzeln}

Wurzeln werden durch \verb:sqrt[<basis>]{argument}: gesetzt. Beispiel: $\sqrt[3]{8} = 2$. Bei 
langen Exponenten sieht es so aus: \verb:$\sqrt[\frac{1}{3}]{8} = 8^{\nicefrac{3}{1}} = 8^3$:
$\longrightarrow \sqrt[\frac{1}{3}]{8} = 8^{\nicefrac{3}{1}} = 8^3$

Möchtet man den Abstand zwischen 3 und dem Wurzel-Zeichen vergrößern, kann man die folgendermaßen tun:
\verb:$\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}\frac{1}{3}]{8}$: 
$\longrightarrow \sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}\frac{1}{3}]{8}$

\begin{description}
	\item [\texttt{leftroot}] ist der horizontale Abstand zwischen der Wurzel und dem Exponent, 
		\emph{von rechts nach links}.
	\item [\texttt{uproot}] ist der vertikale Abstand zwischen der Wurzel und dem Exponent, 
		\emph{von unten nach oben}.
\end{description}

Die Argumente für diese Befehle sind ganzen Zahlen, die Einheit sind Point. Alternativ kann man den Befehl
\verb:\nicefrac: verwenden: $\sqrt[\nicefrac{1}{3}]{8}$.

\section{Operatoren}

Operatoren sind bekannten Funktionen, die aufrecht gesetzt werden (müssen). Zum Beispiel: Die 
Funktion Sinus wird als $\sin(x)$ (\verb:$\sin(x)$:) gesetzt, gängigsten Funktionen sind:

\begin{itemize}
	\item Cosinus \verb:\cos(x): $\cos(x)$, Tangenz \verb:\tan(x): $\tan(x)$, 
		Kotangenz \verb:$\cot(x)$: $\cot(x)$
	\item Natürlicher Logarithmus \verb:\ln(x): $\ln(x)$, Logarithmus zur Basis $n$ 
		\verb:$\log_n(x)$: $\log_n(x)$
	\item Real-Teil und Imaginär-Teil: \verb:\Re(z): $\Re(z)$ und \verb:$\Im(z)$: $\Im(z)$
\end{itemize}

\section{Matrizen}
Matrizen werden folgendermaßen erstellt:

\begin{latexcode}
\begin{align}
A &= \left[
     \begin{array}{ccr}
       a    &     b   &   c \\
       d    &     f   &   2 \\
     \sin(x)& \cos(x) & \log_{\nicefrac{1}{3}}(x)
     \end{array}
     \right]
\end{align}
\end{latexcode}
erzeugt:
\begin{align}
A &= \left[
	\begin{array}{ccr}
	a      & b & c \\
	d      & f & 2 \\
	\sin(x)& \cos(x) & \log_{\nicefrac{1}{3}}(x)
	\end{array}
\right]
\end{align}

Die Zeichen \verb:\\: und \verb:&: erzeugen Zeilen und Spalten in der Matrix.

Die Befehle \verb:\left[: und \verb:\right]: erzeugen die linke und rechte 
rechteckige Klammer. Die Größe wird dabei automatische an den Inhalt angepasst. 
Um runde Klammer zu setzen, kann man also \verb:\left(: und \verb:\right): 
verwenden.

Die Umgebung \verb:array: kann verschachtelt werden. Um Matrixmultiplikation zu 
setzen kann man beispielsweise so setzen:

\begin{latexcode}
\begin{align}
\text{Matrixmultiplikation } A &= 
	\begin{array}{cl}
	  & \left( \begin{array}{cc} 
	      a & b \\
	      c & d \\
	     \end{array} \right)\\
%   
	\left(\begin{array}{cc}
	x &  y \\
	u &  v \\
	\end{array}\right)
  & \left(\begin{array}{cc}
	ax + cy &  bx + dy \\
	au + cv &  bu + dv \\
	\end{array}\right)
	\end{array}
\end{align}
\end{latexcode}

Das Ergebnis wird dann in der unterstehenden Gleichung angezeigt.

\begin{align}
\text{Matrixmultiplikation } A &= 
	\begin{array}{cl}
	  & \left( \begin{array}{cc} 
	      a & b \\
	      c & d \\
	     \end{array} \right)\\
%   
	\left(\begin{array}{cc}
	x &  y \\
	u &  v \\
	\end{array}\right)
  & \left(\begin{array}{cc}
	ax + cy &  bx + dy \\
	au + cv &  bu + dv \\
	\end{array}\right)
	\end{array}
\end{align}



Die Umgebung \texttt{array} funktioniert so wie die Umgebung \texttt{tabular}. Jedoch sie darf nur
im Math-Modus verwendet werden. Alternativ kann man die Umgebung \texttt{matrix} verwenden, dann
muss man kein Spalten-Definition angeben. Z.\,B:

\begin{latexcode}
\begin{align}\left(
	\begin{matrix}
	\phantom{-} a      & b & c \\
	\phantom{-} d      & f & 2 \\
	           -1      & r & 3 \\
	\end{matrix}
\right)
\end{align}
\end{latexcode}

erzeugt

\begin{align}\left(
	\begin{matrix}
	\phantom{-} a      & b & c \\
	\phantom{-} d      & f & 2 \\
	           -1      & r & 3 \\
	\end{matrix}
\right)
\end{align}

Man kann auch die Arten der Klammen kombinieren.

\section{Integral und Summe}

\begin{latexcode}
\begin{align*}
    \int_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &=  \\
	\int \cos(x) dx	                  & = \sin(x) + C
\end{align*}
\end{latexcode}

erzeugt

\begin{align*}
    \int_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &=  \\
	\int \cos(x) dx	                  & = \sin(x) + C\\
\end{align*}

Während

\begin{latexcode}
\begin{align*}
	\sum_{i=0}^{\infty} i^2 & = ???
\end{align*}
\end{latexcode}

erzeugt

\begin{align*}
	\sum_{i=0}^{\infty} i^2 & = ???
\end{align*}

Die Grenzen in der Summe- und Integral-Formel werden automatisch angepasst. Alternativ kann man
den Befehl \verb:\limits: benutzen:

\begin{latexcode}
\begin{align*}
    \int\limits_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &=  
\end{align*}
\end{latexcode}

erzeugt

\begin{align*}
    \int\limits_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &=  
\end{align*}


