\chapter{Mathematische Formeln}
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\latex kann schon sehr gut mathematische Formeln setzen. Dennoch muss man für einige
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Strukturen und Symbolen zusätzlichen Pakete laden.
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Eines der bekanntesten Pakete ist das Paket \texttt{amsmath}. AMS steht für
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\textit{American Mathematical Society}. Sein Nachfolger ist das Paket
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\texttt{mathtools}. Man kann beide benutzen. Das Paket \texttt{mathtools}
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lädt intern auch das Paket \verb:amsmath:. Es gibt zwei \emph{Modus} um mathematische
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Formel zu setzen:
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\begin{description}%{inline}
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\item[inline-Modus] ist für die Formel in Fließtext geeignet. Man setzt die Formel
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zwischen zwei \verb:$:-Zeichen. Z.B.\,$\sqrt{9} = 3$ wird durch \verb:$\sqrt{9} = 3$: gesetzt.
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\item[display-Modus] ist für Formeln, die in einem eigenen Absatz gesetzt werden und
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ggf.\,noch referenziert werden. Man setzt die Formel bei dem display-Modus
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in die Umgebung \verb:align: ggf.\,\verb:align*: oder \verb:\[<Math. Formel>\]:.
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Die Umgebungen \verb:displaymath:, \verb:eqnarray:, \verb:eqnarray*: sollte man
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nicht benutzen. Sie führen dazu, dass die Abstände inkonsistent sind.
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\end{description}
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\section{Display-Modus}
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Die Umgebung \verb:align: setzt die mathematische Formel in einem neuen Absatz und vergibt
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automatisch die Nummerierung der Formel. Die Umgebung \verb:align*: dagegen vergibt keine
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Nummerierung. Wenn man das Paket \verb:mathtools: benutzt, dann die \verb:\[\]: ist
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die Abkürzung für \verb:align*:, Beispiele:
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Um die Formel zu nummerieren benutzt man die Umgebung \verb:align:. Der Code
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\begin{latexcode}
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\begin{align}
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a^2 &= b^2 + c^2\\
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\sin(x)^2 + \cos(x)^2 &= 1
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\end{align}
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\end{latexcode}
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erzeugt:
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\begin{align*}
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a^2 &= b^2 + c^2\\
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\sin(x)^2 + \cos(x)^2 &= 1\\
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a_1 + a_2+ \cdots + a_n &= \sum_{i=1}^n a_i
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\end{align*}
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Wenn man die Gleichung referenzieren möchte, markiert man die Gleichung mit dem
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Befehl \verb:\label: und kann sie dann später im Text mittels \verb:\ref: referenzieren.
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Der Code
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{latexcode}
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\begin{align}
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\varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}
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\label{eq:normalverteilung}
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\end{align}
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Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird in der Gleich~\ref{eq:normalverteilung}
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dargestellt.
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\end{latexcode}
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erzeugt
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\begin{align}
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\varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}
|
\label{eq:normalverteilung}
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\end{align}
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Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird in der Gleich~\ref{eq:normalverteilung}
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dargestellt.
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Man kann mehrere Gleichungen in der Umgebung \verb:align: setzen. Jede Gleichung
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bekommt eine Nummer. Mit dem Befehl \verb:\notag: schaltet man die Nummerierung von
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individuellen Gleichung ab. Beispiel: Die Gleichungen
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\begin{align}
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a &= b \label{eq:a-b}\\
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b &= c \notag\\
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\Rightarrow a &= c \label{eq:a-c}
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\end{align}
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werden durch diesen Code erzeugt:
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\begin{latexcode}
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\begin{align}
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a &= b \label{eq:a-b}\\
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b &= c \notag\\
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\Rightarrow a &= c \label{eq:a-c}
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\end{align}
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\end{latexcode}
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Man kann ebenfalls die~\ref{eq:a-b}. Gleichung und die~\ref{eq:a-c}. Gleichung
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durch \verb|\ref{eq:a-b}| und \verb|\ref{eq:a-c}| referenzieren.
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Möchte man die Gleichungen linksbündig setzen, kann man das Paket \verb:mathtools:
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mit der Option \verb:[fleqn]: aufrufen. Die Abb.~\ref{fig:left-eq} zeigt den Effekt der Option.
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\begin{figure}[H]\centering
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\frame{\includegraphics{code/left-eq}}
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\caption{Linksbündige Gleichung}
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\label{fig:left-eq}
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\end{figure}
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\section{Brüche}
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Brüche werden durch \verb:\frac{Zähler}{Nenner}: erzeugt. Sie können beliebig
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verschachtelt werden:
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Im Inline-Modus wird \verb:\frac{a}{b}: so dargestellt: $\frac{a}{b}$ während er
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im Display Modus wie in der "`Gleichung"'~\ref{eq:frac} dargestellt wird:
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\begin{align}
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\frac{a}{b}
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\label{eq:frac}
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\end{align}
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Oft möchte man Brüche wie diese setzen: $\nicefrac{1}{2}$. Dazu braucht man das
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Paket \verb:nicefrac: und setzt die Bruch mit dem Befehl \verb:\nicefrac{1}{2}:.
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\section{Indizes und Exponenten}
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Indizes werden durch \verb:_: gesetzt: \verb:$a_b$: ergibt $a_b$. Exponenten werden
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durch \verb:^: gesetzt: \verb:$a^b$: ergibt $a^b$. Die beiden Operator können kombiniert
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und verschachtelt werden:
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\begin{itemize}
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\item \verb:$a_{1}^1 + a_{2}^2$: $\longrightarrow a_{1}^1 + a_{2}^2$
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\item \verb:$a_{i^1} + a_{i^2} + a_{i^3}$: $\longrightarrow a_{i^1} + a_{i^2} + a_{i^3}$
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\end{itemize}
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\section{Wurzeln}
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Wurzeln werden durch \verb:sqrt[<basis>]{argument}: gesetzt. Beispiel: $\sqrt[3]{8} = 2$. Bei
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langen Exponenten sieht es so aus: \verb:$\sqrt[\frac{1}{3}]{8} = 8^{\nicefrac{3}{1}} = 8^3$:
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$\longrightarrow \sqrt[\frac{1}{3}]{8} = 8^{\nicefrac{3}{1}} = 8^3$
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Möchtet man den Abstand zwischen 3 und dem Wurzel-Zeichen vergrößern, kann man die folgendermaßen tun:
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\verb:$\sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}\frac{1}{3}]{8}$:
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$\longrightarrow \sqrt[\leftroot{-3}\uproot{3}\frac{1}{3}]{8}$
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\begin{description}
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\item [\texttt{leftroot}] ist der horizontale Abstand zwischen der Wurzel und dem Exponent,
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\emph{von rechts nach links}.
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\item [\texttt{uproot}] ist der vertikale Abstand zwischen der Wurzel und dem Exponent,
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\emph{von unten nach oben}.
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\end{description}
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Die Argumente für diese Befehle sind ganzen Zahlen, die Einheit sind Point. Alternativ kann man den Befehl
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\verb:\nicefrac: verwenden: $\sqrt[\nicefrac{1}{3}]{8}$.
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\section{Operatoren}
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Operatoren sind bekannten Funktionen, die aufrecht gesetzt werden (müssen). Zum Beispiel: Die
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Funktion Sinus wird als $\sin(x)$ (\verb:$\sin(x)$:) gesetzt, gängigsten Funktionen sind:
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\begin{itemize}
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\item Cosinus \verb:\cos(x): $\cos(x)$, Tangenz \verb:\tan(x): $\tan(x)$,
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Kotangenz \verb:$\cot(x)$: $\cot(x)$
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\item Natürlicher Logarithmus \verb:\ln(x): $\ln(x)$, Logarithmus zur Basis $n$
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\verb:$\log_n(x)$: $\log_n(x)$
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\item Real-Teil und Imaginär-Teil: \verb:\Re(z): $\Re(z)$ und \verb:$\Im(z)$: $\Im(z)$
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\end{itemize}
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\section{Matrizen}
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Matrizen werden folgendermaßen erstellt:
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\begin{latexcode}
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\begin{align}
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A &= \left[
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\begin{array}{ccr}
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a & b & c \\
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d & f & 2 \\
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\sin(x)& \cos(x) & \log_{\nicefrac{1}{3}}(x)
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\end{array}
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\right]
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\end{align}
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\end{latexcode}
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erzeugt:
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\begin{align}
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A &= \left[
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\begin{array}{ccr}
|
a & b & c \\
|
d & f & 2 \\
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\sin(x)& \cos(x) & \log_{\nicefrac{1}{3}}(x)
|
\end{array}
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\right]
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\end{align}
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Die Zeichen \verb:\\: und \verb:&: erzeugen Zeilen und Spalten in der Matrix.
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Die Befehle \verb:\left[: und \verb:\right]: erzeugen die linke und rechte
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rechteckige Klammer. Die Größe wird dabei automatische an den Inhalt angepasst.
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Um runde Klammer zu setzen, kann man also \verb:\left(: und \verb:\right):
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verwenden.
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Die Umgebung \verb:array: kann verschachtelt werden. Um Matrixmultiplikation zu
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setzen kann man beispielsweise so setzen:
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\begin{latexcode}
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\begin{align}
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\text{Matrixmultiplikation } A &=
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\begin{array}{cl}
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& \left( \begin{array}{cc}
|
a & b \\
|
c & d \\
|
\end{array} \right)\\
|
%
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\left(\begin{array}{cc}
|
x & y \\
|
u & v \\
|
\end{array}\right)
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& \left(\begin{array}{cc}
|
ax + cy & bx + dy \\
|
au + cv & bu + dv \\
|
\end{array}\right)
|
\end{array}
|
\end{align}
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\end{latexcode}
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Das Ergebnis wird dann in der unterstehenden Gleichung angezeigt.
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\begin{align}
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\text{Matrixmultiplikation } A &=
|
\begin{array}{cl}
|
& \left( \begin{array}{cc}
|
a & b \\
|
c & d \\
|
\end{array} \right)\\
|
%
|
\left(\begin{array}{cc}
|
x & y \\
|
u & v \\
|
\end{array}\right)
|
& \left(\begin{array}{cc}
|
ax + cy & bx + dy \\
|
au + cv & bu + dv \\
|
\end{array}\right)
|
\end{array}
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\end{align}
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Die Umgebung \texttt{array} funktioniert so wie die Umgebung \texttt{tabular}. Jedoch sie darf nur
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im Math-Modus verwendet werden. Alternativ kann man die Umgebung \texttt{matrix} verwenden, dann
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muss man kein Spalten-Definition angeben. Z.\,B:
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\begin{latexcode}
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\begin{align}\left(
|
\begin{matrix}
|
\phantom{-} a & b & c \\
|
\phantom{-} d & f & 2 \\
|
-1 & r & 3 \\
|
\end{matrix}
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\right)
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\end{align}
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\end{latexcode}
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erzeugt
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\begin{align}\left(
|
\begin{matrix}
|
\phantom{-} a & b & c \\
|
\phantom{-} d & f & 2 \\
|
-1 & r & 3 \\
|
\end{matrix}
|
\right)
|
\end{align}
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Man kann auch die Arten der Klammen kombinieren.
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\section{Integral und Summe}
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\begin{latexcode}
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\begin{align*}
|
\int_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &= \\
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\int \cos(x) dx & = \sin(x) + C
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\end{align*}
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\end{latexcode}
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erzeugt
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\begin{align*}
|
\int_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &= \\
|
\int \cos(x) dx & = \sin(x) + C\\
|
\end{align*}
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|
Während
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\begin{latexcode}
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\begin{align*}
|
\sum_{i=0}^{\infty} i^2 & = 1 + 1 + 4 + 8 + \cdots
|
\end{align*}
|
\end{latexcode}
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|
erzeugt
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\begin{align*}
|
\sum_{i=0}^{\infty} i^2 & = 1 + 1 + 4 + 8 + \cdots
|
\end{align*}
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Die Grenzen in der Summe- und Integral-Formel werden automatisch angepasst. Alternativ kann man
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den Befehl \verb:\limits: benutzen:
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\begin{latexcode}
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\begin{align*}
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\int\limits_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &=
|
\end{align*}
|
\end{latexcode}
|
|
erzeugt
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|
\begin{align*}
|
\int\limits_{-1}^{1} \cos(x) \mathrm{d}x &=
|
\end{align*}
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